これは…エスパー養成テストでしょうか…orz

>突然ハンゲームのウインドウが閉じ、デスクトップの画面に変わってしまいます
>マウスを触ると、また元のゲームに戻りゲームを続けることができる
閉じるのではなく、最小化ではないですか？
無意識にウインドウズキー+Mキー押してる事も考えられますが…

マウスを触るとっていうのは、カーソルを少しでも動かせばウインドウが復帰するというコトでしょうか？
スクリーンセイバーからの復帰みたいなカンジの。

>１０分以内にエラーが出て接続が切れてしまいます
そのエラーの内容を詳しく。
おそらく、モデムかルーターに問題があるか、ただの接触不良のいずれかだと思いますが。