モイトイは以前は普通に発売されていたので、当然ながらその時は誰でも買えました。
販売終了後もスポットで販売していたようですね。
現在入手できるものはガチャの購入特典だけのようです。

交換については、一部のものは交換可能のようです。
http://announce.hangame.co.jp/hangame/shop/itemshop/guide/moitoy.html

こちらの過去の質問の答えにありますが、vol.1,4とvol.2,3では仕様が違います。
交換可能なのは部位が「モイトイ」ではなく「セット衣装、ペット２、ペット４、エフェクト」のvol.2,3でしょう。
http://forum.hangame.co.jp/thread/read.nhn?threadno=27685

オークションとアイテム交換所では「モイトイ」が分類にないので選択出来ません。
ガチャの購入特典のものにもプレゼント可、交換・出品不可なアイテムと表記されています。

ですのでどなたかにプレゼントしてもらうというのが現実的な入手方法だと思います。